wiko Wiktor Kobyliński
wkobylinski@gmail.com
Tekst ten został
wstawiony do Sieci
30. września 1999
i przeredagowany
(tekst opinii
prof. M. Różyczki)
9. czerwca 2000

Prawo Titiusa-Bodego:
magia liczb czy prawo przyrody?

Wprowadzenie

początek Analizując wielkości orbit kolejnych planet Układu Słonecznego (US) w roku 1766 Jan Titius z Wittenbergii zauważył iż w miarę oddalania od Słońca długości średnic orbit kolejnych planet tworzą dosyć regularny ciąg liczb. Średnicą nazwano tu wielką oś orbity eliptycznej, połowa jej nazywana jest Średnią Odległością (ŚO) planety od Słońca. Spostrzeżenie Titiusa dotyczyło znanych wówczas planet: Merkurego, Wenus, Ziemi, Marsa, Jowisza i Saturna. Starając wyrazić to liczbowo Titius dopasował do zaobserwowanych wielkości zgrabny ciąg, którego pierwszymi dwoma wyrazami są: 0 i 3 a każdy następny powstaje przez podwojenie poprzedniego. Kiedy wyrazy tak powstałego ciągu: {0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,...} zwiększy się o 4 i podzieli przez 10, to otrzymane liczby: { 0.4, 0.7, 1.0, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, 19.6...} z niezłą dokładnością +5% określają w Jednostkach Astronomicznych średnie odległości planet od Słońca. Wyjątkiem był brak orbity planety odpowiadającej N=5-temu wyrazowi ciągu. Prawo Titiusa opublikował w roku 1772 (jako własne) berlińczyk Jan Bode. Przyjęło się nazywać je Prawem Titiusa-Bodego (T-B). Prawo T-B można zapisać: t-b1 gdzie "a"=pół wielkiej osi elipsy orbity wyrażone w Jednostkach Astronomicznych a "K" przyjmuje kolejno wielkości: niesb, 0, 1, 2, 3, ...

W poniższej tabeli podano relację wartości ciągu T-B do rzeczywistych wymiarów orbit, dane znane Titiusowi i Bodemu wyróżniono kolorem.

a b c d e f g h
N K Nazwa
Planety
Data
odkrycia
Odkrywca[y] Wartość Ciągu
Titiusa-Bodego
Ś. O. [J. A. ]
(Ziemia=1.0)
Odchylenie
[%]
1 nies Merkury
*
*
0.4 0.387
-3.2 %
2 0 Wenus
*
*
0.7 0.723
3.3 %
3 1 Ziemia
*
*
1.0 1.000 0.0 %
4 2 Mars
*
*
1.6 1.524 -4.8 %
5
3
??? Ceres
1801
Piazzi
2.8 2.77 -1.1 %
6
4
Jowisz
*
*
5.2 5.203 0.1 %
7
5
Saturn
*
*
10.0 9.516 -4.8 %
8
6
Uran 1781 Herschel 19.6 19.158 -2.3 %
9
7
Neptun
1846 Le Verrier
Galle,Adams
38.8 30.071 -22.5 %
9a*)
10
7 *)
Pluton
1930 Tombaugh 38.8*)
77.2
39.518 1.9 % *)
-48.8 %
*)przyjmując, że Pluton zajmuje N=9, (K=7) miejsce ciągu Titiusa-Bodego razem z Neptunem
Tabela 1. Średnice orbit planet Układu Słonecznego w relacji do prawa Titiusa-Bodego

Nie ma chyba w historii nowoczesnej astronomii prawa, które przez tak długi okres czasu wzbudzało by tak wiele kontrowersji co to proste prawo Titiusa-Bodego. Wśród zawodowych astronomów przeważa pogląd, że jest to przypadkowy zbieg okoliczności i problem raczej numerologii a nie astronomii. Prawo T-B potraktowano jako ciekawostkę liczbową. Przez ponad 300 lat nikt nie udowodnił jego poprawności ani też nie wykazał jego fałszywości.

Ewolucja postrzegania Układu Planetarnego

początek Za początek nowoczesnej astronomii można przyjąć opublikowanie w 1543 roku dzieła: O obrotach Sfer Niebieskich Mikołaja Kopernika, gdzie sformułowana została heliocentryczna teoria ruchu planet.

W 1600 roku Niemiec Jan Kepler został w obserwatorium w Pradze asystentem duńskiego astronoma Tychona de Brahe skrupulatnego badacza ruchów planet na niebie. Rok później, po śmierci Brahego, Kepler przejął wielką ilość jego bardzo dokładnych pomiarów. Możliwa do przeprowadzenia dzięki nim analiza ruchu planet w przestrzeni trójwymiarowej (3D) pozwoliła Keplerowi w latach 1609-1619 sformułować trzy prawa opisujące niezwykle dokładnie ruch orbitalny planet Układu Słonecznego:

  1. Każda planeta porusza się wokół Słońca po elipsie a Słońce jest zawsze w jednym z ognisk tej elipsy.
  2. Promień wodzący skierowany od Słońca do planety w takim samym przedziale czasu pokrywa takie samo pole powierzchni tej elipsy.
  3. Stosunek trzecich potęg średnic tych orbit (wielkich osi elips) do kwadratu czasu pełnego obiegu wokół Słońca jest dla wszystkich planet Układu Słonecznego identyczny.
Te trzy wyznaczone empirycznie prawa przyrody opisywały ruch orbitalny planet dokładniej niż cokolwiek przedtem. Jednak trudno zaprzeczyć, że są one - zwłaszcza prawa drugie i trzecie - sformułowane nie mniej magicznie niż "numerologia" Titiusa i Bodego.

Na szczęście w 1684 roku Anglik Izaak Newton opublikował Prawo Powszechnej Grawitacji. Wynika z niego, że przyspieszenie ruchu planety na orbicie jest skierowane ku Słońcu a jego wielkość jest w każdej chwili odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca. Z tej, dosyć prostej zasady, można wyprowadzić analitycznie wszystkie trzy prawa Keplera. To, oraz bardzo wysoka dokładność z pomiarami odsunęła możliwość utrzymania wobec praw Keplera zarzutu "numerologii".

Jednak do prawa T-B taki zarzut przylgnął. Ale w roku 1781 Anglik William Herschel odkrył istnienie planety Uran odległej od Słońca średnio 19.16 jednostek astronomicznych - tylko ok. 2% od wielkości podanej w prawie Titiusa-Bodego dla N=8. Nadało to prawu T-B nową jakość. Prawo Titiusa-Bodego zostało uszlachetnione faktem zwykle stosowanym do weryfikowania hipotez naukowych: nie tylko opisuje fakty znane ale antycypuje fakty nieznane.

W roku 1801 sycylijski mnich Piazzi odkrył "brakujące ogniwo" - planetoidę Ceres w odległości 2.77 [J.A.]- tylko 1% od wielkości wyznaczonej przez Titiusa dla N=5. Było to kolejnym argumentem "za" prawem Titiusa-Bodego.
Ale sceptycy mogli stwierdzić, że:

  • po pierwsze: Ceres ze swoją tylko 800 km średnicą nie może być nazwana planetą, nazwana została - jak wiele podobnych jej obiektów - planetoidą;
  • po drugie: było zbiegiem okoliczności, że odkrywanie planetoid rozpoczęto od takiej, której orbita ma wielkość odpowiadającą prawu Titiusa-Bodego.
Ale przyglądając się rozkładowi innych planetoid można zuważyć na Ryc. 1. , że największa ich gęstość występuje w pobliżu wielkości wynikającej z rytmu prawa Titiusa-Bodego.

Planeta Neptun odkryta w 1846 roku przez berlińczyka Galle, na podstawie obliczeń teoretycznych Francuza Le Verriera, ma orbitę znacznie bardziej odległą od wielkości wynikającej z prawa T-B. (Anglik Adams dokonał podobnych obliczeń ale Galle szukając nowej planety ich nie znał.) Ale orbita Plutona odkrytego w 1930 roku przez Amerykanina Tombaugha odpowiada bardzo dokładnie wyrazowi N=9 ciągu Titiusa-Bodego.

Kiedy Aleksander Wolszczan w 1992 roku ogłosił odkrycie pierwszego pozasłonecznego układu planetarnego uważni obserwatorzy zauważyli, że wszystkie trzy planety tego układu rozmieszczone są na orbitach zgodnie z trzema pierwszymi wyrazami ciągu Titiusa-Bodego.

Nasuwa się problem:
Podejście naukowe astronoma może skłaniać do odrzucenia prawa T-B jako "prawa przyrody". Ale czy podejście naukowe kogoś badającego zdarzenia losowe nie może skłaniać aby odrzucić hipotezę przeciwstawną, że obserwowany porządek geometrii orbit układów planetarnych jest zupełnie przypadkową koincydencją? Czy można tak wiele zgodności wytłumaczyć tylko zbiegiem okoliczności? A może istnieje jakieś oddziaływanie powodujące obserwowany porządek?

Planety i planetoidy Układu Słonecznego

początek
asteroids
Ryc. 1. położenie na orbitach około sześciu tysięcy znanych planetoid w Układzie Słonecznym
(źródło: http://history.math.csusb.edu/HistTopics/Orbits.html)

Orbitowanie ("odpychanie" grawitacyjne)

początek
konjnkcj
Ryc. 2. Planety na orbitach keplerowskich.
W każdym układzie planetarnym musi istnieć obiekt centralny. Przyjmijmy dla niego nazwę Nukleus układu (Ryc. 2. ). Nukleus to Słońce w Układzie Słonecznym, Jowisz lub Saturn w ich układach satelitarnych a pulsar B1257+12 w jednym z Układów Planetarnych odkrytych przez Wolszczana. Układ Planetarny tworzą satelity obiegające Nukleus. Najbliższy mu punkt orbity eliptcznej nazwijmy Perynukleum a najdalszy Aponukleum. W obserwowanych Układach Planetarnych tory satelitów niewiele są odchylone od jednej płaszczyzny, elipsy torów są bardzo zbliżone do okręgów a satelity Układu obiegają Nukleus w tę samą stronę.

Dla każdej pary planet układu planeta na orbicie wewnętrznej co jakiś czas dogania i przegania planetę na orbicie zewnętrznej (punkty A-B). Zbliżenie takie nazwijmy koniunkcją.

Nie dla każdego jest oczywiste, że relacje wzajemne ciał orbitujących w polu grawitacyjnym utworzonym przez Nukleus nie zawsze są zgodne z wyniesioną ze szkoły intuicją. Przeprowadźmy kilka eksperymentów myślowych!

Doświadczenie nr 1

mirsmall
Ryc. 3. Stacja Mir orbitująca
na tle powierzchnia Ziemi
Przyjmijmy, że Nukleus to Ziemia. Niech wokół niej 300 km od jej powierzchni orbituje po okręgu stacja kosmiczna (Ryc. 3. ), której oś długa na 200 m ustawiona jest w kierunku do środka Ziemi. Dwaj kosmonauci bez silników rakietowych i bez lin wiążących, przyczepieni do skrajnych punktów tej osi nagle się odczepiają. Jak będą poruszać się względem siebie?

Nasuwająca się odpowiedź, że na skutek grawitacji będą się oni powoli do siebie zbliżać nie jest właściwa. Otóż ten kosmonauta, który jest dalej ma prędkość większą od prędkości wymaganej na jego wysokości dla orbity okręgowej - a bliższy ma prędkość mniejszą.

Po odłączeniu kosmonauta na orbicie zewnętrznej będzie się początkowo jeszcze bardziej oddalać od Ziemi, a ten na orbicie wewnętrznej będzie się bardziej przybliżać. Okres pełnego obiegu na orbicie zewnętrznej stanie się dłuższy a na wewnętrznej krótszy. W efekcie kosmonauci nie tylko oddalą się od siebie ale również, po dokonaniu pełnych obiegów wokół Ziemi, powrócą w obszar skąd rozpoczęli swoją podróż po różnych okresach czasu. Wygląda na to, że nigdy już się do siebie (ani do swojej stacji kosmicznej) nie zbliżą.

Uwaga 1

Warto zauważyć, że sytuacja kosmonautów nie w każdym przypadku byłaby beznadziejna. Jeżeli stosunek okresów obiegu ich na orbitach wokółziemskich będzie równy ilorazowi niewielkich liczb całkowitych to po skończonej liczbie ich obiegów równej dla każdego kosmonauty odpowiednio mianownikowi i licznikowi wspomnianego ilorazu znajdą się oni znowu w [bliskich sobie] punktach wyjścia.

Komentarz 1

Przykład powyższy może ktoś skomentować tak, że przyczyną oddalania się kosmonautów była ich znikoma masa, bo gdyby ich masy były odpowiednio wielkie, to przyciąganie grawitacyjne doprowadziło by ich do zderzenia. Inny zarzut dotyczący doświadczenia nr 1 mógłby polegać na tym, że powodem rozejścia się orbit było przyjęcie stałej ich początkowej prędkości kątowej w ruchu orbitalnym co spowodowało, że ten kosmonauta, który był dalej miał prędkość liniową zbyt dużą a ten drugi zbyt małą by rozpocząć "prawidłowe" orbitowanie.

Doświadczenie nr 2

Aby odrzucić powyższe zarzuty przeprowadźmy doświadczenie nr 2. Niech dwa masywne ciała poruszają się dokładnie po tej samej orbicie blisko siebie, jedno za drugim. Dla uproszczenia przyjmijmy że orbitą ich jest idealny okrąg. Nazwijmy ciało wyprzedzające A a ciało goniące B. Jeżeli masy ciał są odpowiednio wielkie a ich odległość wzajemna dostatecznie mała to wzajemne przyciąganie grawitacyjne spowoduje opóźnianie ciała A i przyspieszanie ciała B. Opóźnienie ciała A spowoduje, że zejdzie ono na orbitę niższą a przyspieszenie ciała B wprowadzi go na orbitę wyższą. Orbita wewnętrzna jest krótsza i średnia szybkość satelity na niej jest większa. Okres obiegu ciała A będzie więc krótszy niż ten, który był na początkowej orbicie okręgowej a ciała B będzie dłuższy. W ruchu orbitalnym tych ciał, ciało A lecące niżej obiegnie po orbicie w czasie krótszym, a ciało B lecące wyżej obiegnie w czasie odpowiednio dłuższym. Warto zauważyć, że oddziaływanie grawitacyjne spowoduje w takim przypadku, że ciało "uciekające" zwiększy szybkość ruchu na orbicie, ciało "goniące" zwolni a ich pokrywające się początkowo orbity rozsuną się.

W powyższym doświadczeniu, pod wpływem grawitacji, ciała orbitujące oddalą się od siebie a nie - jak to być może podpowiada intuicja - przybliżą. Grawitacja powoduje w tym przypadku odpychanie się ciał orbitujących (oraz ich orbit!). Nazwijmy to zjawisko, trochę dla przekory, odpychaniem grawitacyjnym! ;-)

Uwaga 2

Warto zauważyć, że podobnie jak w doświadczeniu nr 1, jeżeli powstałe w doświadczeniu nr 2 orbity będą miały stosunek okresów obiegu równy ilorazowi niewielkich liczb całkowitych to, po odpowiedniej liczbie ich obiegów orbitalnych, ciała ponownie zbliżą się do siebie.

Warto też zwrócić uwagę że:
Efekt wzajemnej grawitacji na orbitujące w Układzie Planetarnym satelity może mieć skutek odpychający - może inicjować zwiększenie odległości, prędkości wzajemnej i rozsuwanie się orbit; natomiast okresowe zbliżania satelitów orbitujących na bliskich orbitach są powodowane przez powtarzające się koniunkcje. Następują one wtedy, gdy satelita mający orbitę o mniejszej średnicy co jakiś czas dogania satelitę na orbicie o średnicy większej.

Oba te efekty: oddalania na skutek odpychania orbit i zbliżania na skutek koniunkcji wiążą pomiędzy sobą orbity Układu Planetarnego tworząc w nim obserwowany porządek.

Komentarz 2

Doświadczenie 2 nie wyklucza możliwości istnienia stabilnych satelitów o równych okresach obiegu (stosunek okresów wynosi tam 1:1). Satelity nie mogą tylko orbitować zbyt blisko ciał o dużej masie. Jednym z kilku możliwych takich położeń gdzie stosunek okresów obiegu wynosi 1:1 są miejsca na orbicie o tym samym okresie obiegu co orbita planety innej, ale odległe od planety średnio o kąt 60 stopni na orbicie. Stabilność takiego układu dla orbit okręgowych przewidział teoretycznie ok. roku 1770 Józef Lagrange.Na Ryc.1. można zaobserwować dwie grupy takich planetoid na orbitach o średnicy orbity i okresie obiegu identycznych z tymi jakie ma Jowisz. Ponieważ tym planetoidom nadano nazwy bohaterów bitwy pod Troją nazywane są planetoidami trojańskimi a miejsca gdzie występują - punktami Lagrange'a.

Laboratorium Układu Planetarnego

początek
Kiedy w końcu 1609 roku Galileo Galilei (Galileusz) skierował skonstruowaną przez siebie lunetę na Jowisza dojrzał jego tarczę i blisko niej cztery błyszczące obiekty. Po kilku nocach ich obserwacji stwierdził, że nie są to gwiazdy stałe ale satelity Jowisza. Galileusz dostrzegł w Układzie Jowisza miniaturę Układu Słonecznego. Początkowo nawet nazywano satelity Jowisza nazwami planet słonecznych. Obecnie księżyce Galileusza nazywają się Io, Europa, Ganimedes i Callisto. Później odkryto wiele innych (ale znacznie mniejszych) satelitów Jowisza i innych wokółsłonecznych planet. galican
Obr 4. Luneta Galileusza
http://naomi.bo.astro.it/~bedogni/semin1/immtrod.html
Potraktujmy Układ Jowiszański jako bardzo dogodny model Układu Planetarnego. Przyczyną tej dogodności jest głównie to, że okresy obiegu księżyców Galileusza są około 50 razy krótsze niż odpowiednie okresy obiegu Słońca przez planety. Można oszacować, że przez każdy miliard lat istnienia galileuszowego Układu Jowiszańskiego ewaluował on tak, jak Układ Słoneczny ewaluowałby przez 50 miliardów lat. Można więc zaryzykować tezę, że Układ Jowiszański jest bardziej reprezentatywnym układem satelitarnym niż Układ Słoneczny. Spójrzmy w Tabelę 2 zodwzorowującą dla tych satelitów Jowisza relacje podobne do tych, które Tab. 1 odnosi do planet Układu Słonecznego.
a b c d e f g h i
N Nazwa
Księżyca
Data
odkrycia
Odkrywca Wartość Ciągu
Titiusa-Bodego
Ś.O.
(Ganimedes=1.0)
Odchylenie
[%]
Okres
[dni]
Okres
(Io=1)
1 Io
1609
Galileusz
0.4 0.394
-1.5 %
1.7691 1.000
2 Europa
1609
Galileusz
0.7 0.627
-10.4 %
3.5512 2.007
3 Ganimedes
1609
Galileusz
1.0 1.000 0.0 % 7.1546 4.043
4 Callisto
1609
Galileusz
1.6 1.760 10.0 % 16.6890 9.439
Tabela 2. Księżyce Galileusza w Układzie Jowisza w relacji do prawa Titiusa-Bodego i ich względne okresy obiegu

Titius i Bode znali ten Układ Jowiszański. Pominęli go jednak milczeniem, być może dlatego, że relacje w nim znacznie bardziej (+10%) odbiegały od określonych w prawie T-B.

Czyżby spodziewanie się, że drogą ewolucji układ ten stał się doskonalszym Układem Planetarnym niż Układ Słoneczny było pomyłką?

Trzecie prawo Keplera sprzęga średnicę orbity z okresem obiegu. Spróbujmy spojrzeć na relacje między orbitami planet, nieco inaczej niż robili to Titius i Bode. W kolumnach (h) i (i) Tabeli 2. dołączono dane dotyczące okresów obiegu. Zauważmy, że stosunek okresów obiegów satelitów Jowisza wydaje się mieć relacje ciekawsze niż stosunek średnic orbit!

Okres obiegu Io jest niemal dokładnie połową okresu Europy, a ten z kolei połową okresu Ganimedesa.

Szkoda tylko, że do tej reguły nie pasuje już Callisto! :(

Na rycinie 5. pokazana jest symulacja ruchu księżyców Galileusza z zaznaczeniem obszarów koniunkcji. Kolorem w miejscu koniunkcji pokazano obszary przekazywania energii od planety zewnętrznej do wewnętrznej, a potem innym kolorem przepływ odwrotny. Zadziwia symetria Układu.

Oprócz spodziewanych pojedynczych miejsc koniunkcji między Io/Europą/Ganimedesem widać cztery równomiernie ułożone węzły koniunkcyjne między Ganimedesem i Callisto.

Powodem tego jest to, że stosunek okresów ich obiegu równa się dokładnie 3/7. Można wykazać, że jeżeli stosunek okresów dwóch planet wyraża się nieskracalnym ułamkiem w postaci wyrażonej liczbami naturalnymi:

n
n + W
to "W" jest równe liczbie węzłów koniunkcyjnych.
6j50

Ryc. 5. Położenie węzłów koniunkcji pomiędzy księżycami Galileusza

Z czego wynika regularność orbit?

początek Rozważmy kolejny problem: z czego wynika regularność orbit?

Dokładnie dwa obiegi Io przypadają na jeden obieg Europy a dwa obiegi Europy przypadają na jeden obieg Ganimedesa. Oznacza to, że koniunkcje występują w tych samych punktach na orbicie. Między orbitami Ganimedesa i Callisto występują cztery stabilne węzły koniunkcyjne. Jaka jest tego przyczyna?

Koniunkcja - miejsce największego transferu energii między satelitami

Odwróćmy ten problem! Czy może być inaczej? Czy mogą istnieć stabilne układy planetarne, w których planety poruszają się po zupełnie dowolnych orbitach keplerowskich?
Przyjmijmy wstępnie, że tak! Na rycinie 6. pokazano dwie planety na orbitach zgodnych prawami Keplera. Planeta na orbicie wewnętrznej co jakiś czas dogania planetę na orbicie zewnętrznej. Zachodzi wtedy zaznaczona na rysunku koniunkcja planet. W strefie koniunkcji odległość między planetami jest najmniejsza a oddziaływanie grawitacyjne - zgodnie z prawem Newtona największe - proporcjonalne do odwrotności kwadratu wzajemnej odległości. Składowa międzyplanetarnej siły grawitacji styczna do trajektorii orbitującej planety wykonuje pracę, która powoduje, że w obszarze AA'-BB' koniunkcji planeta zewnętrzna jest hamowana i traci energię, a planeta wewnętrzna jest przyspieszana i energię zyskuje. Po przejściu miejsce koniunkcji, w obszarze A'A"-B'B" jest odwrotnie: planeta wewnętrzna oddaje energię planecie zewnętrznej.

W przypadku dowolnych orbit eliptycznych, z racji zmiennych odległości między planetami i asymetrii geometrii orbit, strumienie energii przepływające między planetami przed i po koniunkcji zwykle nie są sobie równe. Jedna z planet zwiększa wówczas energię, powiększa średnicę orbity i zmniejsza szybkość orbitowania a druga odwrotnie.

knjnkcj
Ryc. 6 oddziaływanie w miejscu koniunkcji
Układ taki nie byłby stabilny. Zmieniać się będzie w czasie aż:
  1. planety zderzą się ze sobą, lub
  2. nastąpi takie zbliżenie do siebie, że opisany wyżej w doświadczeniu nr 2 efekt "odpychania grawitacyjnego" odrzuci planety od siebie, lub
  3. nastąpi ewolucja układu do postaci symetrii geometrii i takiego ułożenia punktów koniunkcji w którym następuje równowaga we wzajemnym transferze energii między planetami.
Przypadki (a) i (b) obserwowane w próbach modelowych występują naogół we wczasnej fazie formowania się Układu Planetarnego. Modele uformowanych układów planetarnych nie wykazują tendencji do ich występowania. Układy te są bardzo stabilne. Być może istnieje czynnik do tego doprowadzający, być może na skutek chaotycznych przepływów energii między planetami orbity ich ewoluowały tak długo aż mniej lub bardziej przypadkowo powstały układy orbit o geometrii takiej, że przepływy energii wymienianej przez pracę sił grawitacji bilansują się i występuje trwała równowaga przepływów energii pomiędzy każdą parą orbitujących planet układu.

Stan taki jest właściwy dla układów mających orbity o bardzo małych mimośrodzie ułożone blisko wspólnej płaszczyzny mające niemal stabilne punkty koniunkcji. Symetria i stabilne położenie węzłów koniunkcji powoduje, że strumienie energii przekazywanej wzajemnie w skończonej liczbie obiegów planet po ich orbitach równoważą się.

Przykład wiązania orbit układu planetarnego

Poniższa rycina przedstawia wynik symulacji ruchu księżyców Jowisza, tych odkrytych przez Galileusza i czterech mniejszych poruszających się wewnątrz orbity Io. Są to: Thebe, Amalthea, Adrastea i Metis.
6j17200
Ryc. 7. Miejsca koniunkcji księżyców Układu Jowisza

Widoczne 4 węzły Callisto/Ganimedes, po jednym między Ganimedesem/Europą i Europą/Io oraz aż 13 węzłów między orbitami Io i Thebe. Świadczy to o uporządkowaniu układu satelitów Jowisza. Gdyby układ nie był uporządkowany następowałyby transfery energii pomiędzy orbitującymi planetami. Mogły by też występować kolizje między nimi. W miarę upływu czasu taki proces dąży do stanu stabilnego, w którym w skończonym czasie bilans energetyczny między każdą parą planet jest równy zeru.
Widoczne na Ryc. 7. rozmycie węzłów Io/Europa i Europa/Ganimedes wynika z ich powolnego dryfowania spowodowanego odchyleniem rzeczywistych proporcji okresów obiegu od ułamka 1/2. Węzły koniunkcyjne nie leżą tam na wielkich osiach elips orbit.

Jeżeli miedzy każdą parą orbit planet Układu zachodzą dwa warunki: orbity są względem siebie symetryczne oraz stałe punkty koniunkcji są względem tej osi symetrii również symetrycznie położone, to Układ Planetarny jest stabilny.

ProporcjeOrbit

Podsumowanie

początek

W znanych Układach Planetarnych obserwuje się, że

  1. każdy obserwowany w przyrodzie Układ Planetarny tworzą planety obiegające jego nukleus;
  2. ruch wszystkich planet Układu odbywa się z dużą dokładnością w jednej płaszczyźnie, w tę samą stronę po orbitach eliptycznych o niewielkim mimośrodzie - zbliżonych do okręgów;
  3. wzajemne oddziaływanie planet Układu powoduje synchronizację orbit (zwaną rezonansem) polegającą na tym, że stosunek okresów obiegu każdej pary planet Układu jest bliski ilorazowi niewielkich liczb całkowitych a węzły koniunkcyjne między orbitami są stacjonarne.
Przyjmijmy powyższe czynniki (a), (b) i (c) za definicję Układu Planetarnego!

Uwagi

  • Pojęcie Układu Planetarnego jako tworu powstałego przez wzajemne oddziaływanie orbitujących planet mogło by wykluczyć układ Ziemia-Księżyc z grona Układów Planetarnych (nazwać by można ten układ planetą podwójną). Ale w 1961 roku krakowski astronom dr Kordylewski zaobserwował - przewidziane wcześniej przez niego - pyłowe satelity Ziemi umieszczone w stosunku okresów 1:1 z Księżycem poruszające się wokół punktów Lagrange'a orbity księżycowej. Istnienie księżyców Kordylewskiego potwierdziły obserwacje przeprowadzone w roku 1975 ze sztucznego satelity OSO (Orbiting Solar Observatory).
  • Przyjmując zjawiska opisane wyżej jako (b) i (c) za kryteria przynależności obiektu do Układu wokół Jowisza należy wyróżnić kilka różnych Układów Planetarnych. Poza księżycami opisanymi w tym artykule istnieją tam układy leżące w innych płaszczyznach.
  • Układ Słoneczny tworzą znane planety i planetoidy.
  • Prawie żadna kometa nie należy do Układu Słonecznego(!).

Problem tytułowy

początek
  • Sformułowanie (c) głosi, że stosunek okresów obiegu planet jest liczbą wymierną. Ponieważ stosunek długości średnic powstaje z podniesienia stosunku okresów do potęgi 2/3 nie daje to możliwości aby stosunek średnic był również w każdym przypadku liczbą wymierną czego wymaga prawo Titiuasa-Bodego. Ergo: prawo Titiusa-Bodego nie może być prawdziwe. Niemniej jest ono istotnej wagi uzupełnieniem praw Keplera zwracającym uwagę na to, że z dowolnego zbioru orbit keplerowskich tylko niektóre są dopuszczalne dla planet twoszących Układ.

Czy koniec z pięknem ciągu liczbowego?

początek >
  • Z ciągiem Titiusa-Bodego już koniec! Ale ....

    Spójrzmy jeszcze raz na Tabelę 3! Zauważymy zapewne, że:
    ułamki określające stosunki okresów obiegu planet występujące w Układach Planetarnych leżą nie wyżej niż linia przechodząca przez pola zawierające: 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 .... (A)

    Poprzedźmy ten ciąg ułamkiem "1/1" występującym jako stosunek okresów satelitów trojańskich!

    Zauważymy, że tworzący te ułamki ciąg liczb naturalnych {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...} to ciąg przedstawiony w roku 1202 przez Fibonacciego zwanego też Leonardem z Pizy, który zasłynął również z tego, że zapoznał świat zachodni z osiągnięciami matematyki arabskiej i indyjskiej.

    Ciąg Fibonacciego ma wiele znanych zastosowań w przyrodzie. Oryginalnie powstał z problemu określania liczebności kolejnych pokoleń hodowli królików. Ciąg ten rozpoczynają dwie jedynki, a każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ma wiele ciekawych matematycznie własności. W granicy iloraz kolejnych jego wyrazów dąży do proporcji zwanej złotym podziałem.

    Gdyby własność (A) była prawdziwa, to prawdziwe byłoby twierdzenie o separacji orbit Układu Planetarnego:

    W Układzie planetarnym dla każdej dowolnej pary dwóch planet zachodzi właściwość:

    • Jeżeli okresy obiegów planet nie są równe to stosunek okresu krótszego do dłuższego nie jest większy od 2/3.
    odpowiada to sformułowaniu:
    • Jeżeli średnice torów planet Układu nie są równe to stosunek średnicy mniejszej do większej nie przekracza (2/3)^(2/3) ~0.763.


    Ryc. 1. zdaje się potwierdzać powyższe. Wygląda na to, że orbity planetoid (z wyjątkiem orbit planetoid trojańskich) w rozumieniu opisanego wyżej doświadczenia nr 2 "odpychane są" od orbit Marsa i Jowisza.

Problem zastosowania ciągów liczbowych w badaniu Układów Planetarnych wydaje się być nadal otwarty! ;o)

Zakończenie

początek
Obserwowana synchronizacja obiegów orbitalnych powodowana jest stabilnym położeniem węzłów koniunkcyjnych między orbitami. Stabilność węzłów koniunkcyjnych znaczy, że proporcje między okresami obiegu planet Układu bliskie są ilorazom [niewielkich] liczb całkowitych. Liczba węzłów koniunkcyjnych równa się różnicy mianownika i licznika nieskracalnego ułamka wyrażającego odpowiedni stosunek okresu mniejszego do okresu większego. Stabilność węzłów i ich symetryczne położenie względem orbit powoduje to, że bilans energii przekazywanej między planetami przez pracę sił grawitacyjnych równoważy się w skończonej liczbie ich obiegów, równej odpowiednio mianownikowi i licznikowi tego ułamka.

Dzięki powiązaniu wszystkich orbit Układu zmiana obiegu orbitalnego jednej planety może oddziaływać na inne planety ale też zakłócenie w obiegu jednej planety może być zredukowane do położenia stabilnego przez oddziaływanie innych planet Układu.

Stabilność przyporządkowania orbit poszczególnym planetom, bark dowolności dla wielkości orbit oraz synchronizacja wzajemna okresów obiegu planet powoduje, że Układ Planetarny może kojarzyć się z mechaniczną przekładnią lub z falą stojącą lub ...z atomem ...

sierpień-wrzesień 1999
http://bejka.com/titius

Opinia profesjonalisty

początek Na zakończenie zamieszczam opinię profesora astronomii Michała Różyczki z Uniwersytetu Warszawskiego, w której zechciał podać wydawcy tej strony swoje uwagi związane z niektórymi poruszanymi wyżej problemami.
Szanowny Panie,

Prawo Titiusa - Bodego i problem rezonansów w układach planetarnych - to stare, a jednak wciąż żywe problemy astronomiczne. Do dziś nie znamy zadawalającej odpowiedzi na pytanie dlaczego planety poustawiały się w taki a nie inny sposób.

Samo zagadnienie rezonansu jest nieco bardziej skomplikowane niż to Pan przedstawia w swoim opracowaniu - w dokładnych badaniach dynamiki układu planetarnego trzeba brać pod uwagę nachylenia orbit (z punktu widzenia struktury rezonansowej nawet niewielkie kąty nachylenia mogą być istotne) oraz precesja orbity (która zmienia elipsę w "rozetkę").

Z dotychczasowych badań wynika, że wskutek opisanych przez Pana oddziaływań dwa ciała mogą zarówno "doewoluować do rezonansu", jak i doznać w nim tak dużych zaburzeń, że ich orbity całkowicie się rozsynchronizują.

Pańskie spostrzeżenia odnośnie dozwolonej separacji planet ma teoretyczne uzasadnienie w postaci kryterium stabilności Hilla. Zgodnie z nim, dwie planety mogą mieć stabilne orbity tylko wtedy, gdy początkowa odległość między tymi orbitami jest większa niż 3.6 promienia Hilla bardziej masywnej z planet. Promień Hilla jest równy:
q(1/3)×a, gdzie q jest stosunkiem masy planety do masy obieganej przez nią gwiazdy, zaś a jest promieniem orbity planety.

Jeżeli zażądamy, by kryterium Hilla było spełnione w ten sposób, ze sąsiadujące ze sobą orbity będą odległe o stałą (oczywiście większą od 3.5) liczbę promieni Hilla to okaże się, ze w układzie, w którym masy wszystkich planet sa do siebie zbliżone, stosunek wielkich półosi dwóch sąsiadujących ze sobą planet również będzie stały. Prawo T-B można zapisać w innej postaci (podała ją M. Blagg), zgodnie z którą
an=1.728n; n=-2, -1, 0, 1 ....
Widać więc, że układ stabilny tj. spełniający kryterium Hilla) może (chociaż nie musi) wykazywać prawidłowość typu T-B.

Na zakończenie: w odkrytym kilka miesięcy temu układzie v And orbity dwóch zewnętrznych, bardzo masywnych planet są silnie spłaszczone (e=0.23 i e=0.31). Tzw. "konwencjonalna mądrość" podpowiadała, że układ jest niestabilny. Całkowania orbity wykazały jednak, że jest on w stanie przetrwać nawet miliard lat, choć parametry orbit ulegają w tym czasie silnym zmianom. Cóż, tak to ciągle jeszcze trwa: sprawy niby proste, w końcu to elementarna mechanika Newtona, a zbyt wiele powiedzieć się nie da... :(

Z poważaniem

Michał Różyczka

początek

Valid HTML 4.0 Transitional